Las Matematicas: 2012

jueves, 15 de marzo de 2012

La radicacion en los números naturales

La radicacion es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.

Ejemplo

$\sqrt[4]{x^3}$ = $\ x^{3/4}$ .

Raíz de un producto

La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores.

$\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ ;
con n distinto de cero (0).

Ejemplo

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4}$ = $\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4}$ = $\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12$

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12$

El 3 elevado a la dos dentro de la raíz cuadrada puede simplificarse quedando 3.

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}}$ = $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ ;
con n distinto de cero (0).

Ejemplo: $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ = $\frac{3}{2}$

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

$\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^9}} = \frac{x^{3/3}}{y^{9/3}}$ = $\frac{x}{y^3}$

Ejemplo

$(\sqrt[4]{a^2})^8 = (\ a^{2/4})^8$ = $\sqrt[4]{a^{16}}$

El tres elevado a las dos dentro de la raíz cuadrada puede simplificarse quedando 3.

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ = $\sqrt[n \cdot m]{a}$ ;
con n y m distintos de cero (0).

Ejemplo: $\sqrt[9]{\sqrt[3]{5}}$ = $\sqrt[27]{5}$

El cero y el uno en la radicacion

La raíz enesima de 1 es uno. Es decir cualquier raiz que se le quiera sacar a uno siempre sera uno.
La raíz enesima de cero es igual a cero.

Las raices de indice dos, se llaman raíces cuadradas y, a diferencia de los demás casos, en este tipo de raices no se escribe el índice.

No olvides

Las raíces de índice tres, se llaman raíces cúbicas.
Para extraer la raíz exacta de un número natural, se busca un número tal que elevado al índice de la raíz, dé como resultado la cantidad subradical o radicando.

Algo Mas Sobre Potenciacion

LA POTENCIACIÓN

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los exponentes respectivos.

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

ejemplos:

$9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5$

División de Potencias de Igual Base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes.

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes -

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.

Ejemplos:

$10^0=1 \,$

$10^1=10 \,$

$10^2=100 \,$

$10^3=1.000 \,$

$10^4=10.000 \,$

$10^5=100.000 \,$

$10^6=1.000.000 \,$

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

$(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n$

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$\Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n}$

EL CERO Y EL UNO EN LA POTENCIACION

Todo número elevado a la cero da como resultado uno
Todo número elevado a la uno da como resultado el mismo numero
Uno elevado a cualquier potencia da como resultado uno
Cero elevado a cualquier potencia da como resultado cero

Un número natural es cuadrado perfecto cuando es el resultado de elevarotro numero natural al cuadrado. Por ejemplo

64 es cuadrado perfecto porque 8² = 64.

Un número natural es cubo perfecto cuando es el resultado de elevar otro numero natural al cubo

Por ejemplo

216 es un cubo perfecto porque 6³ = 216.

No olvidemos que un numero elevado al exponente dos, se dice qeu esta elevado al cuadrado; y si esta elevado al exponente tres se dice qeu esta elevado al cubo.

PROBLEMAS:

leer y resolver

Camilo participa en una maraton en la cual se asigna la puntuacion según el número de pruebas superadas, asi: por la primera prueba se dan tres puntos ; por la segunda, se triplican los puntos anteriores y por la tercera, nuevamente se triplican los puntos. Si camilo superó seis pruebas, ?cuántos puntos logró en la maratón?.

Resolver el siguiente problema en el cuaderno y hacer un comentario en el blog, colocar nombre y grado